水素原子の電子がエネルギー準位4から2に遷移した際に放出される光子の波長をナノメートル単位で求める問題です。

1. 問題の内容

水素原子の電子がエネルギー準位4から2に遷移した際に放出される光子の波長をナノメートル単位で求める問題です。

2. 解き方の手順

水素原子のエネルギー準位は、ボーアの原子模型によって以下のように与えられます。

$E_n = - \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$

ここで、$n$ は主量子数です。

エネルギー準位4から2への遷移に伴うエネルギー変化 $\Delta E$ は、以下の式で計算できます。

$\Delta E = E_2 - E_4 = -13.6 \text{ eV} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = -13.6 \text{ eV} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$

$\Delta E = -13.6 \text{ eV} \left( \frac{4}{16} - \frac{1}{16} \right) = -13.6 \text{ eV} \left( \frac{3}{16} \right) = -2.55 \text{ eV}$

放出される光子のエネルギーは、このエネルギー変化の絶対値に等しくなります。

$E_\text{photon} = |\Delta E| = 2.55 \text{ eV}$

光子のエネルギーと波長の関係は、以下の式で与えられます。

$E_\text{photon} = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$

ここで、$h$ はプランク定数、$c$ は光速、$\lambda$ は波長です。

波長 $\lambda$ を求めると、

$\lambda = \frac{hc}{E_\text{photon}}$

プランク定数 $h = 4.135667696 \times 10^{-15} \text{ eV s}$, 光速 $c = 2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}$ を代入して計算します。

$\lambda = \frac{(4.135667696 \times 10^{-15} \text{ eV s}) (2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s})}{2.55 \text{ eV}} \approx 4.86 \times 10^{-7} \text{ m}$

これをナノメートル単位に変換します ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$)。

$\lambda = 4.86 \times 10^{-7} \text{ m} \times \frac{1 \text{ nm}}{10^{-9} \text{ m}} = 486 \text{ nm}$

3. 最終的な答え

486 nm