天井の1.0m離れた2点A, Bから重さ4.0Nの物体を吊り下げた。AC=0.80m, BC=0.60m, AB=1.00mとなるようにしたとき、ひもBCの張力を求めよ。

1. 問題の内容

天井の1.0m離れた2点A, Bから重さ4.0Nの物体を吊り下げた。AC=0.80m, BC=0.60m, AB=1.00mとなるようにしたとき、ひもBCの張力を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Cにおける力の釣り合いを考える。

ひもACの張力を$T_1$, ひもBCの張力を$T_2$とする。

角$\angle CAB = \alpha$, 角$\angle CBA = \beta$とする。

水平方向の力の釣り合いの式は次のようになる。

$T_1 \cos\alpha = T_2 \cos\beta$

垂直方向の力の釣り合いの式は次のようになる。

$T_1 \sin\alpha + T_2 \sin\beta = 4$

三角形ABCにおいて、AC=0.8, BC=0.6, AB=1.0なので、ピタゴラスの定理より$\angle ACB = 90^\circ$である。

したがって、

$\sin\alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{0.6}{1.0} = \frac{3}{5}$

$\cos\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{0.8}{1.0} = \frac{4}{5}$

$\sin\beta = \frac{AC}{AB} = \frac{0.8}{1.0} = \frac{4}{5}$

$\cos\beta = \frac{BC}{AB} = \frac{0.6}{1.0} = \frac{3}{5}$

水平方向の力の釣り合いの式に代入すると、

$T_1 \cdot \frac{4}{5} = T_2 \cdot \frac{3}{5}$

$4T_1 = 3T_2$

$T_1 = \frac{3}{4}T_2$

垂直方向の力の釣り合いの式に代入すると、

$T_1 \cdot \frac{3}{5} + T_2 \cdot \frac{4}{5} = 4$

$\frac{3}{5}T_1 + \frac{4}{5}T_2 = 4$

$T_1 = \frac{3}{4}T_2$を代入すると、

$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4}T_2 + \frac{4}{5}T_2 = 4$

$\frac{9}{20}T_2 + \frac{16}{20}T_2 = 4$

$\frac{25}{20}T_2 = 4$

$\frac{5}{4}T_2 = 4$

$T_2 = \frac{4 \cdot 4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$

3. 最終的な答え

ひもBCの張力は3.2Nである。