$X_1, X_2, ..., X_n$ は平均 $\mu$, 分散 $\sigma^2$ を持つ母分布からの無作為標本である。標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$、不偏分散を $U^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ とする。$\mu^2$ の不偏推定量として最も適切なものを選択する。

1. 問題の内容

$X_1, X_2, ..., X_n$ は平均 $\mu$, 分散 $\sigma^2$ を持つ母分布からの無作為標本である。標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$、不偏分散を $U^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ とする。$\mu^2$ の不偏推定量として最も適切なものを選択する。

2. 解き方の手順

$\bar{X}$ は $X_i$ の標本平均なので、$E[\bar{X}] = \mu$ である。また、$U^2$ は不偏分散なので、$E[U^2] = \sigma^2$ である。

$\bar{X}^2$ の期待値を計算する。

$Var(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2$

$E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = Var(\bar{X}) + \mu^2$

$\bar{X}$ の分散は $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ である。

よって、$E[\bar{X}^2] = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$ となる。

$\mu^2 = E[\bar{X}^2] - \frac{\sigma^2}{n}$

$E[U^2] = \sigma^2$ なので、$E[\bar{X}^2] - \frac{E[U^2]}{n} = E[\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n}] = \mu^2$

したがって、$\mu^2$ の不偏推定量は $\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n}$ である。

3. 最終的な答え

$\bar{X}^2 - \frac{U^2}{n}$