10本中当たりが4本入ったくじから、同時に5本引くとき、当たりを3本以上引く確率を求めよ。

1. 問題の内容

10本中当たりが4本入ったくじから、同時に5本引くとき、当たりを3本以上引く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

当たりを3本以上引く確率は、当たりを3本引く確率と、当たりを4本引く確率の和で計算できます。

* **全体の引き方の総数**: 10本から5本を引く組み合わせの総数は、 $_{10}C_5$ で計算できます。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

* **当たりを3本引く場合**: 4本の当たりから3本を選び、残りの6本の外れから2本を選ぶ組み合わせの数は、 $_4C_3 \times _6C_2$ で計算できます。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、当たりを3本引く組み合わせの数は $4 \times 15 = 60$

* **当たりを4本引く場合**: 4本の当たりから4本を選び、残りの6本の外れから1本を選ぶ組み合わせの数は、 $_4C_4 \times _6C_1$ で計算できます。

$_4C_4 = 1$

$_6C_1 = 6$

したがって、当たりを4本引く組み合わせの数は $1 \times 6 = 6$

* **当たりを3本以上引く組み合わせの数**: 当たりを3本引く場合と当たりを4本引く場合の組み合わせの数を足し合わせます。

$60 + 6 = 66$

* **確率の計算**: 確率を求めるためには、当たりを3本以上引く組み合わせの数を全体の引き方の総数で割ります。

$\frac{66}{252} = \frac{11}{42}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{42}$