14本のくじの中に当たりくじが5本ある。このくじを同時に3本引くとき、少なくとも1本は当たる確率を求めよ。

1. 問題の内容

14本のくじの中に当たりくじが5本ある。このくじを同時に3本引くとき、少なくとも1本は当たる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

少なくとも1本当たる確率は、1 - (全て外れる確率) で計算できる。

まず、全ての場合の数を計算する。14本から3本引く組み合わせの数は $_{14}C_3$ である。

$_{14}C_3 = \frac{14!}{3! (14-3)!} = \frac{14!}{3! 11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$

次に、3本とも外れる確率を計算する。外れくじは $14 - 5 = 9$ 本ある。9本から3本引く組み合わせの数は $_{9}C_3$ である。

$_{9}C_3 = \frac{9!}{3! (9-3)!} = \frac{9!}{3! 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

全て外れる確率は $\frac{_{9}C_3}{_{14}C_3} = \frac{84}{364} = \frac{42}{182} = \frac{21}{91} = \frac{3}{13}$

したがって、少なくとも1本当たる確率は $1 - \frac{3}{13} = \frac{13}{13} - \frac{3}{13} = \frac{10}{13}$

3. 最終的な答え

当たる確率は $\frac{10}{13}$