$p$ は奇数である素数とし、$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ とする。 (1) $N$ が $48$ の倍数であることを示す。 (2) $N$ が $144$ の倍数になるような $p$ の値を、小さい順に5つ求める。

1. 問題の内容

$p$ は奇数である素数とし、$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ とする。

(1) $N$ が $48$ の倍数であることを示す。

(2) $N$ が $144$ の倍数になるような $p$ の値を、小さい順に5つ求める。

2. 解き方の手順

(1) $N$ が $48$ の倍数であることを示す。

$p$ は奇数の素数なので、$p+1$, $p+3$, $p+5$ は連続する3つの偶数である。

したがって、$p+1 = 2k$, $p+3 = 2(k+1)$, $p+5 = 2(k+2)$ と表せる。

$N = (p+1)(p+3)(p+5) = 2k \cdot 2(k+1) \cdot 2(k+2) = 8k(k+1)(k+2)$

$k$, $k+1$, $k+2$ は連続する3つの整数なので、少なくとも1つは3の倍数である。

したがって、$k(k+1)(k+2)$ は3の倍数である。

また、$k$ または $k+1$ は偶数なので、$k(k+1)(k+2)$ は2の倍数である。

したがって、$k(k+1)(k+2)$ は $2 \times 3 = 6$ の倍数である。

よって、$N = 8k(k+1)(k+2)$ は $8 \times 6 = 48$ の倍数である。

(2) $N$ が $144$ の倍数になるような $p$ の値を、小さい順に5つ求める。

$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ が $144 = 48 \times 3$ の倍数になる条件を考える。

$N$ が $48$ の倍数であることは(1)で示されているので、$N/48$ が3の倍数になる条件を考えれば良い。

$N/48 = \frac{(p+1)(p+3)(p+5)}{48} = \frac{(p+1)(p+3)(p+5)}{2^4 \cdot 3}$

$p=3$ のとき、$N = (3+1)(3+3)(3+5) = 4 \times 6 \times 8 = 192 = 48 \times 4$ なので、$N/48 = 4$ となり、3の倍数ではない。

$p=5$ のとき、$N = (5+1)(5+3)(5+5) = 6 \times 8 \times 10 = 480 = 48 \times 10$ なので、$N/48 = 10$ となり、3の倍数ではない。

$N$ が $144$ の倍数になるためには、$k(k+1)(k+2)$ が $3 \times 3 = 9$ の倍数になる必要がある。すなわち、$k(k+1)(k+2)$ が9の倍数になる必要がある。したがって、$k(k+1)(k+2)$ のいずれかが9の倍数であるか、いずれか1つが3の倍数であり、かつ他の1つも3の倍数である必要がある。

$p+1 = 2k$ より、$p = 2k-1$

$k(k+1)(k+2)$ が3の倍数になるためには、$\frac{p+1}{2} \equiv 0, -1, -2 \pmod{3}$.

$p \equiv -1, -3, -5 \pmod{6}$

$p=7$ のとき、$N=(8)(10)(12) = 960 = 144 \times 6 + 96$ なので、$N$は$144$の倍数ではない

$p=11$ のとき、$N=(12)(14)(16) = 2688 = 144 \times 18 + 96$ なので、$N$は$144$の倍数ではない

$p=13$ のとき、$N=(14)(16)(18) = 4032 = 144 \times 28$ なので、$N$は$144$の倍数である。

$p=17$ のとき、$N=(18)(20)(22) = 7920 = 144 \times 55$ なので、$N$は$144$の倍数である。

$p=19$ のとき、$N=(20)(22)(24) = 10560 = 144 \times 73 + 48$ なので、$N$は$144$の倍数ではない

$p=23$ のとき、$N=(24)(26)(28) = 17472 = 144 \times 121 + 48$ なので、$N$は$144$の倍数ではない

$p=29$ のとき、$N=(30)(32)(34) = 32640 = 144 \times 226 + 96$ なので、$N$は$144$の倍数ではない

$p=31$ のとき、$N=(32)(34)(36) = 39168 = 144 \times 272$ なので、$N$は$144$の倍数である。

$p=37$ のとき、$N=(38)(40)(42) = 63840 = 144 \times 443 + 288 = 144 \times 443 + 144 \times 2 = 144 \times 445$ なので、$N$は$144$の倍数である。

$p=41$ のとき、$N=(42)(44)(46) = 85488 = 144 \times 593 + 96$ なので、$N$は$144$の倍数ではない

$p=43$ のとき、$N=(44)(46)(48) = 97536 = 144 \times 677 + 288 = 144 \times 677 + 144 \times 2 = 144 \times 679$ なので、$N$は$144$の倍数である。

したがって、小さい順に5つの $p$ の値は $13, 17, 31, 37, 43$ である。

3. 最終的な答え

$p = 13, 17, 31, 37, 43$