質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動している。$y$軸に垂直な方向（つまり$x$軸方向）の速度成分が一定であるとき、$x$軸方向の速度と加速度を求めよ。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動している。$y$軸に垂直な方向（つまり$x$軸方向）の速度成分が一定であるとき、$x$軸方向の速度と加速度を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸方向の速度を$v_x$、$y$軸方向の速度を$v_y$とします。また、時間$t$に対する$x$と$y$の関数をそれぞれ$x(t)$、$y(t)$とします。問題文より、$v_x$は一定なので、

$v_x = \frac{dx}{dt} = C$

と置けます。ここで、$C$は定数です。したがって、$x(t) = Ct + x_0$ （$x_0$は初期位置）となります。

次に、$y = ax^2$という関係があるので、$y(t) = a(x(t))^2 = a(Ct + x_0)^2$となります。

$y$軸方向の速度$v_y$は、$y(t)$を時間で微分することで得られます。

$v_y = \frac{dy}{dt} = 2a(Ct+x_0)C = 2aCx(t)$

ここで、$x(t)$を$x$に置き換えると、$v_y = 2aCx$となります。

$x$軸方向の速度は$v_x = C$と一定なので、速度は $v_x=C$ となります。

次に、$x$軸方向の加速度$a_x$を求めます。速度$v_x$が一定なので、加速度は0です。

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$

$y$軸方向の加速度$a_y$は、$v_y$を時間で微分することで求まります。

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(2aC(Ct+x_0)) = 2aC^2$

求めるのは$x$軸方向の速度と加速度なので、$v_x$と$a_x$を答えます。

3. 最終的な答え

$x$軸方向の速度: $C$

$x$軸方向の加速度: $0$