質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動する場合を考えます。$y$軸に垂直な方向（つまり$x$軸方向）の速度成分が一定のとき、$y$軸方向の速度と加速度を求めます。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動する場合を考えます。$y$軸に垂直な方向（つまり$x$軸方向）の速度成分が一定のとき、$y$軸方向の速度と加速度を求めます。

2. 解き方の手順

$x$軸方向の速度を $v_x$ とし、$y$軸方向の速度を $v_y$ とします。

問題文より、$v_x$ は一定です。つまり、

$v_x = \frac{dx}{dt} = C$ (定数)

となります。

$y = ax^2$ なので、これを時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 2ax \frac{dx}{dt}$

したがって、$y$軸方向の速度 $v_y$ は、

$v_y = \frac{dy}{dt} = 2ax v_x = 2axC$

となります。

次に、$v_y$ を時間 $t$ で微分すると、$y$軸方向の加速度 $a_y$ が求まります。

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d(2axC)}{dt} = 2aC \frac{dx}{dt} = 2aC v_x$

$v_x = C$ であるから、$a_y = 2aC^2$

3. 最終的な答え

$y$軸方向の速度：$v_y = 2aCx$

$y$軸方向の加速度：$a_y = 2aC^2$

ただし、$C$は$x$軸方向の一定の速度成分です。