与えられた対数計算を簡略化して解く問題です。 計算式は以下の通りです。 $ \log_{2}\sqrt{3} + \log_{2}\frac{1}{2} - \log_{2}\sqrt{6} $

1. 問題の内容

与えられた対数計算を簡略化して解く問題です。

計算式は以下の通りです。

$\log_{2}\sqrt{3} + \log_{2}\frac{1}{2} - \log_{2}\sqrt{6}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式をまとめます。

対数の和と差は、それぞれ真数の積と商に変換できます。

$\log_{a}x + \log_{a}y = \log_{a}(xy)$

$\log_{a}x - \log_{a}y = \log_{a}(\frac{x}{y})$

上記の性質を使って、与えられた式をまとめます。

$\log_{2}\sqrt{3} + \log_{2}\frac{1}{2} - \log_{2}\sqrt{6} = \log_{2}(\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}) - \log_{2}\sqrt{6}$

$= \log_{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \log_{2}\sqrt{6}$

$= \log_{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} \div \sqrt{6})$

$= \log_{2}(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}})$

次に、真数を簡略化します。

$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

さらに、$\frac{1}{2\sqrt{2}}$ を有理化すると

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{4}) = \log_{2}(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^{2}})$

$= \log_{2}(2^{\frac{1}{2} - 2}) = \log_{2}(2^{-\frac{3}{2}})$

$= -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}$