$6^{52}$ は何桁の整数か求めなさい。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$6^{52}$ は何桁の整数か求めなさい。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$6^{52}$ の桁数を求めるには、$\log_{10} 6^{52}$ の値を計算し、その整数部分に1を足せばよい。

$\log_{10} 6^{52} = 52 \log_{10} 6$

$6 = 2 \times 3$ なので、

$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3$

与えられた値を使うと、

$\log_{10} 6 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

したがって、

$\log_{10} 6^{52} = 52 \times 0.7781 = 40.4612$

$\log_{10} 6^{52}$ の整数部分は40なので、$6^{52}$ の桁数は $40 + 1 = 41$ 桁である。

3. 最終的な答え

41桁