$\log_{\sqrt{3}} 24$ の値を、四捨五入して小数第2位まで求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

1. 問題の内容

$\log_{\sqrt{3}} 24$ の値を、四捨五入して小数第2位まで求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、$\log_{\sqrt{3}} 24$を常用対数で表します。

$\log_{\sqrt{3}} 24 = \frac{\log_{10} 24}{\log_{10} \sqrt{3}}$

次に、$\log_{10} 24$と$\log_{10} \sqrt{3}$を計算します。

$24 = 2^3 \cdot 3$なので、

$\log_{10} 24 = \log_{10} (2^3 \cdot 3) = \log_{10} 2^3 + \log_{10} 3 = 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3$

$\log_{10} 24 = 3(0.3010) + 0.4771 = 0.9030 + 0.4771 = 1.3801$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$なので、

$\log_{10} \sqrt{3} = \log_{10} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_{10} 3 = \frac{1}{2}(0.4771) = 0.23855$

したがって、

$\log_{\sqrt{3}} 24 = \frac{1.3801}{0.23855} \approx 5.785$

小数第2位まで求め、四捨五入するので、

$\log_{\sqrt{3}} 24 \approx 5.79$

3. 最終的な答え

5. 79