$6^{30}$ は何桁の整数か求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

1. 問題の内容

$6^{30}$ は何桁の整数か求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

2. 解き方の手順

$6^{30}$ の常用対数を計算する。

まず、$\log_{10} 6$ を $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ で表す。

$6 = 2 \times 3$ なので、

$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3$

与えられた値を代入すると、

$\log_{10} 6 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

次に、$\log_{10} 6^{30}$ を計算する。

$\log_{10} 6^{30} = 30 \log_{10} 6 = 30 \times 0.7781 = 23.343$

$\log_{10} 6^{30} = 23.343$ なので、$6^{30} = 10^{23.343} = 10^{23} \times 10^{0.343}$

したがって、$6^{30}$ は $10^{23}$ より大きく、$10^{24}$ より小さい。

$10^{23}$ は24桁の数なので、$6^{30}$ は24桁の数である。

3. 最終的な答え

24桁