$3^{80}$ が何桁の整数であるかを求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$3^{80}$ が何桁の整数であるかを求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

$3^{80}$ の桁数を求めるために、常用対数 $\log_{10}3^{80}$ を計算します。

対数の性質を利用して、

$\log_{10}3^{80} = 80 \times \log_{10}3$

$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられているので、

$\log_{10}3^{80} = 80 \times 0.4771 = 38.168$

整数 $n$ の桁数 $k$ は $\log_{10}n$ の整数部分に1を加えたものです。すなわち、

$k = \lfloor \log_{10}n \rfloor + 1$

ここで、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ の整数部分を表します。

$\log_{10}3^{80} = 38.168$ の整数部分は38なので、

$3^{80}$ の桁数 $k$ は

$k = 38 + 1 = 39$

3. 最終的な答え

39桁