$6^{20}$ は何桁の整数か求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$6^{20}$ は何桁の整数か求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

$N = 6^{20}$ とおきます。

$N$ の桁数を求めるためには、$\log_{10}N$ を計算し、その整数部分に1を足せば良いです。

$\log_{10}N = \log_{10}(6^{20}) = 20 \log_{10}6$

ここで、$6 = 2 \times 3$ であるから、

$\log_{10}6 = \log_{10}(2 \times 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3$

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10}6 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

したがって、

$\log_{10}N = 20 \log_{10}6 = 20 \times 0.7781 = 15.562$

$\log_{10}N$ の整数部分は15なので、$N$ の桁数は $15 + 1 = 16$ となります。

3. 最終的な答え

16桁