与えられた4つの2次関数について、グラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = -3x^2 + 5$ (2) $y = x^2 + 6x + 9$ (3) $y = x^2 + x - 1$ (4) $y = -2x^2 - 6x - 5$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、グラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = -3x^2 + 5$

(2) $y = x^2 + 6x + 9$

(3) $y = x^2 + x - 1$

(4) $y = -2x^2 - 6x - 5$

2. 解き方の手順

2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。この形に変形することで、軸は $x = p$、頂点は $(p, q)$ となります。

(1) $y = -3x^2 + 5$

この式はすでに平方完成された形になっています。

$y = -3(x-0)^2 + 5$

したがって、軸は $x = 0$、頂点は $(0, 5)$です。

(2) $y = x^2 + 6x + 9$

この式は因数分解できます。

$y = (x + 3)^2$

これは $y = (x - (-3))^2 + 0$ と同じです。

したがって、軸は $x = -3$、頂点は $(-3, 0)$です。

(3) $y = x^2 + x - 1$

平方完成を行います。

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 1$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

これは $y = (x - (-\frac{1}{2}))^2 - \frac{5}{4}$ と同じです。

したがって、軸は $x = -\frac{1}{2}$、頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$です。

(4) $y = -2x^2 - 6x - 5$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 3x) - 5$

$y = -2(x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 5$

$y = -2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 5$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 5$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$

これは $y = -2(x - (-\frac{3}{2}))^2 - \frac{1}{2}$ と同じです。

したがって、軸は $x = -\frac{3}{2}$、頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$です。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 0$, 頂点: $(0, 5)$

(2) 軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, 0)$

(3) 軸: $x = -\frac{1}{2}$, 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$

(4) 軸: $x = -\frac{3}{2}$, 頂点: $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$