2次方程式 $x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\frac{\alpha}{\beta - 1}$ と $\frac{\beta}{\alpha - 1}$ を2つの解とする2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の係数 $p$, $q$ を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\frac{\alpha}{\beta - 1}$ と $\frac{\beta}{\alpha - 1}$ を2つの解とする2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の係数 $p$, $q$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 + x + 3 = 0$ の解と係数の関係から、

$$\alpha + \beta = -1$$

$$\alpha \beta = 3$$

次に、$x^2 + px + q = 0$ の2つの解を $\gamma = \frac{\alpha}{\beta - 1}$, $\delta = \frac{\beta}{\alpha - 1}$ とすると、解と係数の関係から、

$$p = -(\gamma + \delta)$$

$$q = \gamma \delta$$

したがって、$\gamma + \delta$ と $\gamma \delta$ を計算する。

$$\gamma + \delta = \frac{\alpha}{\beta - 1} + \frac{\beta}{\alpha - 1} = \frac{\alpha(\alpha - 1) + \beta(\beta - 1)}{(\beta - 1)(\alpha - 1)} = \frac{\alpha^2 - \alpha + \beta^2 - \beta}{\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1}$$

ここで、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (-1)^2 - 2(3) = 1 - 6 = -5$ であるから、

$$\gamma + \delta = \frac{-5 - (-1)}{3 - (-1) + 1} = \frac{-4}{5}$$

よって、

$$p = -(\gamma + \delta) = -\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5}$$

次に、

$$\gamma \delta = \frac{\alpha}{\beta - 1} \cdot \frac{\beta}{\alpha - 1} = \frac{\alpha \beta}{(\beta - 1)(\alpha - 1)} = \frac{\alpha \beta}{\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1} = \frac{3}{3 - (-1) + 1} = \frac{3}{5}$$

よって、

$$q = \gamma \delta = \frac{3}{5}$$

3. 最終的な答え

$p = \frac{4}{5}$, $q = \frac{3}{5}$