$(x^2 + x + 1)^6$ を展開したとき、$x^{11}$、$x^9$、$x^6$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x^2 + x + 1)^6$ を展開したとき、$x^{11}$、$x^9$、$x^6$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n = \sum_{a_1+a_2+...+a_m=n} \frac{n!}{a_1! a_2! ... a_m!} x_1^{a_1} x_2^{a_2} ... x_m^{a_m}$

この問題では、$n=6$、$x_1 = x^2$、$x_2 = x$、$x_3 = 1$ であるから、一般項は、

$\frac{6!}{p!q!r!} (x^2)^p (x)^q (1)^r = \frac{6!}{p!q!r!} x^{2p+q}$

ただし、$p+q+r = 6$、$p \ge 0$、$q \ge 0$、$r \ge 0$ である。

(1) $x^{11}$ の係数

$2p+q = 11$ となる $p, q, r$ を求める。ただし、$p+q+r = 6$。

$q = 11 - 2p$ を $p+q+r = 6$ に代入すると、$p + (11-2p) + r = 6$ より、$r = p - 5$ となる。

$p, q, r \ge 0$ より、$p \ge 0$、$11 - 2p \ge 0$、$p - 5 \ge 0$。

したがって、$p \ge 5$ かつ $p \le 5.5$ であるから、$p=5$。

$p=5$ のとき、$q = 11 - 2(5) = 1$、$r = 5-5 = 0$。

したがって、$\frac{6!}{5!1!0!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1 \times 1} = 6$。

(2) $x^9$ の係数

$2p+q = 9$ となる $p, q, r$ を求める。ただし、$p+q+r = 6$。

$q = 9 - 2p$ を $p+q+r = 6$ に代入すると、$p + (9-2p) + r = 6$ より、$r = p - 3$ となる。

$p, q, r \ge 0$ より、$p \ge 0$、$9 - 2p \ge 0$、$p - 3 \ge 0$。

したがって、$p \ge 3$ かつ $p \le 4.5$ であるから、$p=3, 4$。

$p=3$ のとき、$q = 9 - 2(3) = 3$、$r = 3-3 = 0$。$\frac{6!}{3!3!0!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} = 20$。

$p=4$ のとき、$q = 9 - 2(4) = 1$、$r = 4-3 = 1$。$\frac{6!}{4!1!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 1 \times 1} = 30$。

したがって、$20 + 30 = 50$。

(3) $x^6$ の係数

$2p+q = 6$ となる $p, q, r$ を求める。ただし、$p+q+r = 6$。

$q = 6 - 2p$ を $p+q+r = 6$ に代入すると、$p + (6-2p) + r = 6$ より、$r = p$ となる。

$p, q, r \ge 0$ より、$p \ge 0$、$6 - 2p \ge 0$、$p \ge 0$。

したがって、$0 \le p \le 3$ であるから、$p=0, 1, 2, 3$。

$p=0$ のとき、$q = 6$、$r = 0$。$\frac{6!}{0!6!0!} = 1$。

$p=1$ のとき、$q = 4$、$r = 1$。$\frac{6!}{1!4!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 30$。

$p=2$ のとき、$q = 2$、$r = 2$。$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2!} = 90$。

$p=3$ のとき、$q = 0$、$r = 3$。$\frac{6!}{3!0!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} = 20$。

したがって、$1 + 30 + 90 + 20 = 141$。

3. 最終的な答え

(1) $x^{11}$ の係数は 6

(2) $x^9$ の係数は 50

(3) $x^6$ の係数は 141