$2^{45}$ は何桁の整数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

$2^{45}$ は何桁の整数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

整数 $N$ の桁数を求めるには、$\log_{10}N$ の値を計算し、その整数部分に1を足せばよい。

つまり、$N$ が $n$ 桁の整数であるとき、

$n-1 \le \log_{10} N < n$

が成り立つ。

したがって、$n = [\log_{10}N] + 1$ (ただし、$[x]$ は $x$ の整数部分を表す)。

この問題では、$N = 2^{45}$ なので、$\log_{10} 2^{45}$ を計算する。

対数の性質より、

$\log_{10} 2^{45} = 45 \log_{10} 2$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ が与えられているので、

$\log_{10} 2^{45} = 45 \times 0.3010 = 13.545$

$\log_{10} 2^{45}$ の整数部分は $13$ なので、$2^{45}$ の桁数は $13 + 1 = 14$ 桁である。

3. 最終的な答え

14桁