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関数 $f(x) = 4 \cos^3(x) \sin(x)$ を積分する。

解析学積分三角関数置換積分
2025/6/3

1. 問題の内容

関数 f(x)=4cos⁡3(x)sin⁡(x)f(x) = 4 \cos^3(x) \sin(x) を積分する。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解く。
u=cos⁡(x)u = \cos(x) と置くと、dudx=−sin⁡(x)\frac{du}{dx} = -\sin(x) より du=−sin⁡(x)dxdu = -\sin(x) dx となる。
したがって、
∫f(x)dx=∫4cos⁡3(x)sin⁡(x)dx=∫4u3(−du)=−4∫u3du\int f(x) dx = \int 4 \cos^3(x) \sin(x) dx = \int 4 u^3 (-du) = -4 \int u^3 du
−4∫u3du=−4⋅u44+C=−u4+C-4 \int u^3 du = -4 \cdot \frac{u^4}{4} + C = -u^4 + C
u=cos⁡(x)u = \cos(x) を代入して、
−cos⁡4(x)+C-\cos^4(x) + C

3. 最終的な答え

∫4cos⁡3(x)sin⁡(x)dx=−cos⁡4(x)+C\int 4 \cos^3(x) \sin(x) dx = -\cos^4(x) + C

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