問題1: ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ が与えられたとき、原点を中心とする半径 $a$ の球で囲まれた閉曲面 $S$ 上での面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求めよ。 問題2: 原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ と、その球で囲まれた領域 $V$ について、$\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、与えられた(1)~(5)のベクトル場の中から、この式を満たす $\mathbf{A}$ を選べ。

1. 問題の内容

問題1: ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ が与えられたとき、原点を中心とする半径 $a$ の球で囲まれた閉曲面 $S$ 上での面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求めよ。

問題2: 原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ と、その球で囲まれた領域 $V$ について、$\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、与えられた(1)~(5)のベクトル場の中から、この式を満たす $\mathbf{A}$ を選べ。

2. 解き方の手順

問題1:

閉曲面 $S$ 上の積分を求めるので、発散定理を利用する。

発散定理とは、$\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) dV$ というものである。

まず、$\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ の発散を計算する。

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(2) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2x + 0 + 1 = 2x + 1$

次に、これを体積積分する。球座標を用いると、

$x = r \sin \theta \cos \phi$, $y = r \sin \theta \sin \phi$, $z = r \cos \theta$, $dV = r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$ となる。

積分範囲は $0 \le r \le a$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$ である。

$\iiint_V (2x + 1) dV = \int_0^a \int_0^\pi \int_0^{2\pi} (2r \sin \theta \cos \phi + 1) r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$

$= \int_0^a \int_0^\pi \int_0^{2\pi} 2r^3 \sin^2 \theta \cos \phi dr d\theta d\phi + \int_0^a \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$

第一項は $\int_0^{2\pi} \cos \phi d\phi = 0$ より 0 となる。

第二項は $\int_0^a r^2 dr \int_0^\pi \sin \theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^a \left[ -\cos \theta \right]_0^\pi \left[ \phi \right]_0^{2\pi} = \frac{a^3}{3} \cdot (1+1) \cdot 2\pi = \frac{4\pi a^3}{3}$

問題2:

与えられた式 $\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ を満たす $\mathbf{A}$ を探す。

発散定理を用いると、$\iint_S (r^2 \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) dV$ であるから、

$\iiint_V \nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) dV = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ となる。

したがって、$\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) = 2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}$ を満たす $\mathbf{A}$ を探す。

ここで $\mathbf{r} = (x, y, z)$ である。

選択肢(3) $\mathbf{A} = \mathbf{r}$ の場合、

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = r^2$

$\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) = \nabla \cdot (r^2 \mathbf{r}) = \nabla \cdot (x^2+y^2+z^2) (x, y, z) = \nabla \cdot (x^3+xy^2+xz^2, x^2y+y^3+yz^2, x^2z+y^2z+z^3)$

$= (3x^2+y^2+z^2) + (x^2+3y^2+z^2) + (x^2+y^2+3z^2) = 5x^2 + 5y^2 + 5z^2 = 5r^2$

$2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = 2r^2$

$\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) \ne 2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}$ なので、(3)は正しくない。

選択肢(1) は定数ベクトルなので不適。

選択肢(2) $\mathbf{A}=(x, -y, y)$ は $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = x^2 - y^2 + yz$ なので、計算が複雑になる。

選択肢(4) $\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^2} = (\frac{x}{x^2+y^2+z^2}, \frac{y}{x^2+y^2+z^2}, \frac{z}{x^2+y^2+z^2})$

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} = 1$

$r^2\mathbf{A} = \mathbf{r}$

$\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) = \nabla \cdot \mathbf{r} = 3$

$2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = 2$

$\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) \ne 2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}$

選択肢(5) $\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^3}$ の場合、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{1}{r}$。

$r^2 \mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r} = \frac{(x, y, z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

$\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) = \frac{2}{r}$ なので、 $\nabla \cdot (r^2 \mathbf{A}) = 2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}$ を満たす。

3. 最終的な答え

問題1: $\frac{4\pi a^3}{3}$

問題2: (5) $\mathbf{r}/r^3$