いくつかの数学の問題があります。 1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表す。

1. 問題の内容

いくつかの数学の問題があります。

1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表す。

2. 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \ge 3 \end{cases}$ を解く。

3. $x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$, $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求める。

(1) $x+y$, $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $x^3+y^3$

4. $x+y+z=3$, $xy+yz+zx=-5$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求める。

5. $\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $a, b$ の値を求める。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求める。

6. $a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = |x-5| + |x+2|$

$x$ の範囲によって場合分けが必要ですが、問題文に範囲の指定がないため、$|x-5| + |x+2|$ が答えになります。

2. まず、$(\sqrt{3}-2)x < -1$ を解きます。$\sqrt{3}-2 < 0$ なので、$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2} = \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{3-4} = 2+\sqrt{3}$

次に、$|1-x| \ge 3$ を解きます。

$1-x \ge 3$ のとき $x \le -2$

$1-x \le -3$ のとき $x \ge 4$

よって、$x \le -2$ または $x \ge 4$

連立不等式を満たす $x$ は、$x \ge 2+\sqrt{3}$ かつ ($x \le -2$ または $x \ge 4$) を満たす必要があります。

$2+\sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732$ なので、$x \ge 4$

したがって、$x \ge 4$ が解となります。

3. (1) $x+y = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} + \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})^2 + (3-\sqrt{5})^2}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5 + 9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{28}{4} = 7$

$xy = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = 1$

(2) $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{47}{1} = 47$

(4) $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 7(7^2 - 3(1)) = 7(49-3) = 7(46) = 322$

4. $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$

$3^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(-5)$

$9 = x^2+y^2+z^2 - 10$

$x^2+y^2+z^2 = 19$

5. (1) $\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3} \approx -4 \times 1.732 = -6.928$

$a = -7$, $b = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b = 7 - 4\sqrt{3}$ なので $\frac{1}{b} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49 - 16(3)} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7+4\sqrt{3}$

したがって、$b+\frac{1}{b} = (7-4\sqrt{3}) + (7+4\sqrt{3}) = 14$

$b^3+\frac{1}{b^3} = (b+\frac{1}{b})^3 - 3(b+\frac{1}{b}) = 14^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

6. $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するためには、$2-a < x < 2+a$ となる整数 $x$ が5個存在すれば良い。

$x=2$ は必ず含まれるので、$2-a$ から $2+a$ の間に $2$ の他に左右に2個ずつ整数があれば良い。

$2-a < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 2+a$ と考えると、$2-a = -1.5$ とか、$2+a = 4.5$ などが考えられる。

$2-a$ の最も近い整数は $-2$ なので、$2-a \ge -2$ ならば $x=-2$ を含む。

$2+a$ の最も近い整数は $4$ なので、$2+a \le 5$ ならば $x=5$ を含まない。

$2-a < -1$ かつ $3 < 2+a < 4$ のとき、整数は$-1, 0, 1, 2, 3$ の5個なので、

$3 < a < 4$

3. 最終的な答え

1. $|x-5|+|x+2|$

2. $x \ge 4$

3. (1) $x+y=7$, $xy=1$ (2) $x^2+y^2=47$ (3) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=47$ (4) $x^3+y^3=322$

4. $x^2+y^2+z^2=19$

5. (1) $a=-7$, $b=7-4\sqrt{3}$ (2) $b^3+\frac{1}{b^3}=2702$

6. $3 < a \le 4$