問題は、以下の2つの曲線について、パラメータ表示を求めるものです。 (1) 点(1, -2, 1)を始点、点(-1, 3, 1)を終点とする線分 (2) 平面 $y = 1$ 上にあり、点(0, 1, 0)を中心とした半径5の円

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの曲線について、パラメータ表示を求めるものです。

(1) 点(1, -2, 1)を始点、点(-1, 3, 1)を終点とする線分

(2) 平面 $y = 1$ 上にあり、点(0, 1, 0)を中心とした半径5の円

2. 解き方の手順

(1) 線分のパラメータ表示

線分のパラメータ表示は、始点と終点を用いて以下のように表されます。

$r(t) = (1 - t)A + tB$

ここで、$A$ は始点、$B$ は終点、$t$ はパラメータ（$0 \le t \le 1$）です。

この問題の場合、$A = (1, -2, 1)$、$B = (-1, 3, 1)$なので、

$r(t) = (1 - t)(1, -2, 1) + t(-1, 3, 1)$

$r(t) = (1 - t - t, -2 + 2t + 3t, 1 - t + t)$

$r(t) = (1 - 2t, -2 + 5t, 1)$

よって、パラメータ表示は $x = 1 - 2t, y = -2 + 5t, z = 1$ ($0 \le t \le 1$)となります。

(2) 円のパラメータ表示

平面 $y = 1$ 上にあり、点(0, 1, 0)を中心とする半径5の円のパラメータ表示を考えます。中心(0, 1, 0)なので、$y$座標は常に1です。$x$座標と$z$座標は、半径5の円周上の点を表す必要があります。

$x = 5\cos\theta$

$z = 5\sin\theta$

ここで、$\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$の範囲のパラメータです。$y$座標は常に1なので、$y = 1$となります。

したがって、パラメータ表示は $x = 5\cos\theta, y = 1, z = 5\sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)となります。

3. 最終的な答え

(1) 線分のパラメータ表示：

$x = 1 - 2t, y = -2 + 5t, z = 1$ ($0 \le t \le 1$)

(2) 円のパラメータ表示：

$x = 5\cos\theta, y = 1, z = 5\sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)