さいころを3回投げたときに出た目の最小値を $m$、最大値を $M$ とする。ただし、$m \le M$ とする。 (1) $m=5$ となる確率を求める。 (2) $m \le 4 \le M$ となる確率を求める。 (3) $m=2$ かつ $M=6$ となる確率を求める。 (4) $M-m=3$ となる確率を求める。

1. 問題の内容

さいころを3回投げたときに出た目の最小値を $m$、最大値を $M$ とする。ただし、$m \le M$ とする。

(1) $m=5$ となる確率を求める。

(2) $m \le 4 \le M$ となる確率を求める。

(3) $m=2$ かつ $M=6$ となる確率を求める。

(4) $M-m=3$ となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $m=5$ となるのは、3回のうち少なくとも1回は5が出て、残りの目はすべて5以上である場合である。つまり、出た目は5か6でなければならない。

3回とも5か6が出る確率は $(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216}$。

3回とも6が出る確率は $(\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$。

よって、$m=5$となる確率は、5か6しか出ない確率から、すべて6が出る確率を引いたものである。

求める確率は $\frac{8}{216} - \frac{1}{216} = \frac{7}{216}$。

(2) $m \le 4 \le M$ となるのは、最小値が4以下、最大値が4以上である場合である。

全体から、「すべて5以上の目が出る場合」と「すべて3以下の目が出る場合」を除けばよい。

「すべて5以上の目が出る」確率は $(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$。

「すべて3以下の目が出る」確率は $(\frac{3}{6})^3 = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$。

全体は1なので、求める確率は $1 - \frac{1}{27} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{8}{216} - \frac{27}{216} = 1 - \frac{35}{216} = \frac{216 - 35}{216} = \frac{181}{216}$。

(3) $m=2$ かつ $M=6$ となるのは、3回のうち少なくとも1回は2が出て、少なくとも1回は6が出て、残りの目は2以上6以下である場合である。

3回の出目が2, 6, x （xは2以上6以下の整数）となる場合を考える。

xが2か6の場合は、2, 2, 6 もしくは 2, 6, 6 となる。この場合の数は、$2, 2, 6$ が $\frac{3!}{2!} = 3$通り、$2, 6, 6$ が $\frac{3!}{2!} = 3$通り。

xが3, 4, 5の場合は、$2, 6, x$ となる。この場合の数は、$3! = 6$通り。

したがって、全部で $3 + 3 + 6 \times 3 = 3 + 3 + 18 = 24$通り。

求める確率は $\frac{24}{216} = \frac{1}{9}$。

(4) $M - m = 3$ となる場合を考える。

あり得る $(m, M)$ の組み合わせは $(1, 4), (2, 5), (3, 6)$。

(i) $(m, M) = (1, 4)$ の場合、3回の出目は1以上4以下。少なくとも1回は1が出て、少なくとも1回は4が出る。

出目が1, 4, x （xは1以上4以下の整数）となる場合を考える。

xが1か4の場合は、1, 1, 4 もしくは 1, 4, 4 となる。この場合の数は、$1, 1, 4$ が $\frac{3!}{2!} = 3$通り、$1, 4, 4$ が $\frac{3!}{2!} = 3$通り。

xが2か3の場合は、$1, 4, x$ となる。この場合の数は、$3! = 6$通り。

したがって、全部で $3 + 3 + 6 \times 2 = 3 + 3 + 12 = 18$通り。

(ii) $(m, M) = (2, 5)$ の場合、(i)と同様に考えて、$18$通り。

(iii) $(m, M) = (3, 6)$ の場合、(i)と同様に考えて、$18$通り。

合計で $18 \times 3 = 54$通り。

求める確率は $\frac{54}{216} = \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{216}$

(2) $\frac{181}{216}$

(3) $\frac{1}{9}$

(4) $\frac{1}{4}$