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与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix} $

代数学線形代数行列ランク行基本変形
2025/6/3

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{bmatrix}

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行（または列）の最大数です。行基本変形を使って行列を簡約化し、ランクを求めます。
まず、2行目から1行目の5倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5-5(1) & 6-5(2) & 7-5(3) & 8-5(4) \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{bmatrix}
次に、3行目から1行目の9倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
9-9(1) & 10-9(2) & 11-9(3) & 12-9(4) \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & -8 & -16 & -24 \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{bmatrix}
次に、4行目から1行目の13倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & -8 & -16 & -24 \\
13-13(1) & 14-13(2) & 15-13(3) & 16-13(4)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & -8 & -16 & -24 \\
0 & -12 & -24 & -36
\end{bmatrix}
次に、3行目から2行目の2倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & -8-2(-4) & -16-2(-8) & -24-2(-12) \\
0 & -12 & -24 & -36
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -12 & -24 & -36
\end{bmatrix}
次に、4行目から2行目の3倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -12-3(-4) & -24-3(-8) & -36-3(-12)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -12 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
簡約化された行列には、0でない行が2つあります。したがって、行列のランクは2です。

3. 最終的な答え

2

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