$x > 1$のとき、$x + \frac{2}{x-1}$の最小値と、最小値をとる$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 1$のとき、$x + \frac{2}{x-1}$の最小値と、最小値をとる$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x > 1$であるから、$x - 1 > 0$である。

$y = x + \frac{2}{x-1}$とおく。

$y = (x - 1) + \frac{2}{x-1} + 1$と変形する。

ここで、$x - 1 > 0$なので、相加平均・相乗平均の関係を利用できる。

$x - 1 + \frac{2}{x-1} \ge 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{2}{x-1}} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$y \ge 2\sqrt{2} + 1$

等号成立条件は、

$x - 1 = \frac{2}{x-1}$

$(x-1)^2 = 2$

$x - 1 = \pm \sqrt{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x > 1$より、$x = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最小値: $2\sqrt{2} + 1$

$x$の値: $1 + \sqrt{2}$