問題文(4)は、自然数 $n$ に対して、与えられた式 $1 + 6n + 18n(n-1) + \dots + 6^n {}_nC_n = k^n$ が成り立つとき、整数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題文(4)は、自然数 $n$ に対して、与えられた式 $1 + 6n + 18n(n-1) + \dots + 6^n {}_nC_n = k^n$ が成り立つとき、整数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を思い出します。二項定理は次のように表されます。

$(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r x^r = 1 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$

与えられた式を二項定理の形に変形することを考えます。

$1 + 6n + 18n(n-1) + \dots + 6^n {}_nC_n$

$= 1 + 6{}_nC_1 + 6^2 \frac{n(n-1)}{2!} + \dots + 6^n {}_nC_n$

$= \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r 6^r$

ここで、${}_nC_r$ は二項係数であり、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算されます。

二項定理の式において $x=6$ とすると、

$(1+6)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_nC_r 6^r = 1 + {}_nC_1 6 + {}_nC_2 6^2 + \dots + {}_nC_n 6^n$

したがって、与えられた式は $(1+6)^n = 7^n$ となります。

$7^n = k^n$ なので、$k = 7$ が得られます。

3. 最終的な答え

$k=7$