$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ について、$0 \le x \le a$ の範囲における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ について、$0 \le x \le a$ の範囲における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x - 1)^2 + 1 + 1 = -(x - 1)^2 + 2$

したがって、この関数のグラフは、頂点が $(1, 2)$ で、上に凸の放物線です。

次に、$0 \le x \le a$ の範囲での最大値を考えます。

* **場合1: $a \le 1$ のとき**

このとき、区間 $[0, a]$ は頂点よりも左側にあります。

したがって、$x = a$ で最大値をとります。

最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$ です。

* **場合2: $a > 1$ のとき**

このとき、区間 $[0, a]$ は頂点を含みます。

したがって、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2$ です。

3. 最終的な答え

$a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a > 1$ のとき、最大値は $2$