与えられた式 $x^4 - 3x^2 + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 3x^2 + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は一見すると因数分解できないように見えますが、$A^2-B^2 = (A+B)(A-B)$ の形に持ち込むことを考えます。

$x^4 - 3x^2 + 1$ に $x^2$ を加えて引き、$x^4 - 2x^2 + 1 - x^2$ と変形します。

こうすると、$x^4 - 2x^2 + 1$ は $(x^2-1)^2$ になります。

よって、与えられた式は $(x^2-1)^2 - x^2$ と変形できます。

しかし、$x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2-1)^2-x^2 = x^4 - 2x^2 +1- x^2 = x^4 -3x^2 + 1$ となるので、これでは因数分解が進みません。

そこで、$x^4 - 3x^2 + 1$ に $2x^2$ を加えて引き、$x^4 - 2x^2 + 1 - x^2$ と変形する代わりに、$x^4 + 2x^2 + 1 - 5x^2$　と変形します。

こうすると、$x^4 + 2x^2 + 1$ は $(x^2+1)^2$ になります。

よって、与えられた式は $(x^2+1)^2 - 5x^2$ と変形できます。

するとこれは $A^2 - B^2$ の形になり、$((x^2+1) + \sqrt{5}x)((x^2+1) - \sqrt{5}x)$ と因数分解できます。

$x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$.

より簡単な方法としては、$x^4 - 3x^2 + 1$ を $x^2$ で割って

$x^2 - 3 + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} -3$ と変形し、$x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$ を利用します。

$x^2 + \frac{1}{x^2} -3 = (x+\frac{1}{x})^2 - 5 = (x+\frac{1}{x} + \sqrt{5})(x+\frac{1}{x} - \sqrt{5})$

$= \frac{(x^2 + \sqrt{5}x + 1)}{x} \frac{(x^2 - \sqrt{5}x + 1)}{x}$

したがって、$x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$.

3. 最終的な答え

$(x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$