$z_1 = 3$、漸化式 $z_{n+1} = \sqrt{3} i z_n - 2\sqrt{3}i + 2$ で定義される複素数列 $\{z_n\}$ が与えられています。この数列の一般項 $z_n$、線分 $P_nP_{n+1}$ の長さ、$\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の大きさ $\theta$、および3点 $P_n, P_{n+1}, P_{n+2}$ を頂点とする三角形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$z_1 = 3$、漸化式 $z_{n+1} = \sqrt{3} i z_n - 2\sqrt{3}i + 2$ で定義される複素数列 $\{z_n\}$ が与えられています。この数列の一般項 $z_n$、線分 $P_nP_{n+1}$ の長さ、$\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の大きさ $\theta$、および3点 $P_n, P_{n+1}, P_{n+2}$ を頂点とする三角形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $z_n$ を求める。

まず、漸化式を変形します。

$z_{n+1} = \sqrt{3} i z_n - 2\sqrt{3}i + 2$

$z_{n+1} - \alpha = \sqrt{3} i (z_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を探します。

$\alpha = \sqrt{3} i \alpha - 2\sqrt{3}i + 2$

$(1-\sqrt{3}i)\alpha = 2-2\sqrt{3}i$

$\alpha = \frac{2(1-\sqrt{3}i)}{1-\sqrt{3}i} = 2$

したがって、$z_{n+1} - 2 = \sqrt{3} i (z_n - 2)$ となります。

ここで、$w_n = z_n - 2$ とおくと、$w_{n+1} = \sqrt{3} i w_n$ となります。

これは、初項 $w_1 = z_1 - 2 = 3 - 2 = 1$、公比 $\sqrt{3} i$ の等比数列です。

したがって、$w_n = (\sqrt{3} i)^{n-1} = (\sqrt{3})^{n-1} i^{n-1}$ となります。

$z_n = w_n + 2 = (\sqrt{3})^{n-1} i^{n-1} + 2$

$z_n = (\sqrt{3}i)^{n-1}+2$

(2) 線分 $P_nP_{n+1}$ の長さを求める。

$P_nP_{n+1} = |z_{n+1} - z_n|$

$z_{n+1} - z_n = (\sqrt{3}i)^n - (\sqrt{3}i)^{n-1} = (\sqrt{3}i)^{n-1}(\sqrt{3}i - 1)$

$|z_{n+1} - z_n| = |(\sqrt{3}i)^{n-1}||\sqrt{3}i - 1| = (\sqrt{3})^{n-1}\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = (\sqrt{3})^{n-1} \sqrt{3+1} = 2(\sqrt{3})^{n-1} = 2 \cdot 3^{\frac{n-1}{2}} = 2\sqrt{3}^{n-1}$

(3) $\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の大きさ $\theta$ を求める。

$z_{n+2} - z_{n+1} = (\sqrt{3}i)^{n+1} - (\sqrt{3}i)^n = (\sqrt{3}i)^n (\sqrt{3}i - 1)$

$z_{n+1} - z_n = (\sqrt{3}i)^{n-1}(\sqrt{3}i - 1)$

$\frac{z_{n+2} - z_{n+1}}{z_{n+1} - z_n} = \frac{(\sqrt{3}i)^n (\sqrt{3}i - 1)}{(\sqrt{3}i)^{n-1}(\sqrt{3}i - 1)} = \sqrt{3}i$

したがって、$\theta = \arg(\sqrt{3}i) = \frac{\pi}{2}$

(4) 3点 $P_n, P_{n+1}, P_{n+2}$ を頂点とする三角形の面積を求める。

三角形の面積 $S = \frac{1}{2} |P_nP_{n+1}| |P_{n+1}P_{n+2}| \sin \theta$

$|P_nP_{n+1}| = 2\sqrt{3}^{n-1}$

$|P_{n+1}P_{n+2}| = 2\sqrt{3}^{n}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$S = \frac{1}{2} (2\sqrt{3}^{n-1})(2\sqrt{3}^{n})\sin \frac{\pi}{2} = 2 \sqrt{3}^{2n-1} = 2 (\sqrt{3}^{2})^{n-\frac{1}{2}} = 2 (3)^{n-\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3^n \cdot 3^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3^n \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} 3^n = 2 \sqrt{3}^{2n-1} = 2 \cdot 3^{n-\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{3}^{2n-1}$

$S = \frac{1}{2} |z_{n+1} - z_n| |z_{n+2} - z_{n+1}| \sin \theta = \frac{1}{2} (2(\sqrt{3})^{n-1}) (2(\sqrt{3})^n) \sin \frac{\pi}{2} = 2(\sqrt{3})^{2n-1} = 2(3^{\frac{1}{2}})^{2n-1} = 2 \cdot 3^{\frac{2n-1}{2}} = 2\sqrt{3^{2n-1}} = 2 \sqrt{3} \cdot 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

1: $(\sqrt{3}i)$

2: $2$

3: $2$

4: $2$

5: $1$

6: $1$

7: $2$

8: $2$

9: $3$

10: $3$

$z_n = (\sqrt{3}i)^{n-1} + 2$

線分 $P_n P_{n+1}$ の長さ $= 2\sqrt{3}^{n-1}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

三角形 $P_n P_{n+1} P_{n+2}$ の面積 $= 2\sqrt{3} \cdot 3^{n-1} = 2\sqrt{3^{2n-1}}$