与えられた4つの行列の計算問題を解きます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & b \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} (1 \quad -2 \quad 0 \quad 3) - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の計算問題を解きます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & b \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} (1 \quad -2 \quad 0 \quad 3) - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & b \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 & 1 \cdot b + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + (-a) \cdot 3 & 0 \cdot b + (-a) \cdot 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -1+6 & b+2 \\ 0-3a & 0-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & b+2 \\ -3a & -a \end{pmatrix}$

(2)

まず、$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot a + 1 \cdot b & 1 \cdot b + 1 \cdot a \\ -1 \cdot a + 1 \cdot b & -1 \cdot b + 1 \cdot a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & a+b \\ -a+b & a-b \end{pmatrix}$

次に、この結果と$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$を掛け合わせます。

$\begin{pmatrix} a+b & a+b \\ -a+b & a-b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a+b) \cdot 1 + (a+b) \cdot 1 & (a+b) \cdot (-1) + (a+b) \cdot 1 \\ (-a+b) \cdot 1 + (a-b) \cdot 1 & (-a+b) \cdot (-1) + (a-b) \cdot 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2(a+b) & 0 \\ 2b-2a & 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+2b & 0 \\ 2b-2a & 2a \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 & 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -2-3 & 8-2 & 0-1 \\ -1+0 & 4+0 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 & -1 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

(4)

まず、$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} (1 \quad -2 \quad 0 \quad 3)$を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} (1 \quad -2 \quad 0 \quad 3) = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-2) & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot (-2) & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-2) & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & 0 & 6 \\ 3 & -6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

次に、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & 0 & 6 \\ 3 & -6 & 0 & 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & -2-0 & 0-1 & 3-0 \\ 2-0 & -4-1 & 0-0 & 6-1 \\ 3-1 & -6-0 & 0-0 & 9-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \\ 2 & -6 & 0 & 10 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 5 & b+2 \\ -3a & -a \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2a+2b & 0 \\ 2b-2a & 2a \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -5 & 6 & -1 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \\ 2 & -6 & 0 & 10 \end{pmatrix}$