与えられた連立一次方程式を解き、$x_1$, $x_2$, $x_3$の値を求めます。連立一次方程式は行列の形で与えられています。 $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x_1$, $x_2$, $x_3$の値を求めます。連立一次方程式は行列の形で与えられています。

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を作成し、ガウスの消去法を用いて解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & | & 4 \\ 1 & -1 & 1 & | & 1 \\ 3 & 1 & -3 & | & -2 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を行い、行列を階段行列に変形します。

まず、1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & | & 2 \\ 1 & -1 & 1 & | & 1 \\ 3 & 1 & -3 & | & -2 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & | & 2 \\ 0 & -\frac{5}{2} & 1 & | & -1 \\ 3 & 1 & -3 & | & -2 \end{bmatrix}$

次に、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & | & 2 \\ 0 & -\frac{5}{2} & 1 & | & -1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & -3 & | & -8 \end{bmatrix}$

次に、2行目を$-\frac{2}{5}$倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{2}{5} \\ 0 & -\frac{7}{2} & -3 & | & -8 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目の$\frac{7}{2}$倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{19}{5} & | & -\frac{33}{5} \end{bmatrix}$

最後に、3行目を$-\frac{5}{19}$倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{33}{19} \end{bmatrix}$

この行列を元に、連立一次方程式を解きます。

$x_3 = \frac{33}{19}$

$x_2 - \frac{2}{5}x_3 = \frac{2}{5}$より、$x_2 = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{33}{19} = \frac{38 + 66}{95} = \frac{104}{95}$

$x_1 + \frac{3}{2}x_2 = 2$より、$x_1 = 2 - \frac{3}{2} \times \frac{104}{95} = 2 - \frac{312}{190} = 2 - \frac{156}{95} = \frac{190 - 156}{95} = \frac{34}{95}$

3. 最終的な答え

$x_1 = \frac{34}{95}$

$x_2 = \frac{104}{95}$

$x_3 = \frac{33}{19}$