与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成のような形に変形することで因数分解を試みます。

まず、$x^4 + 2x^2 + 1$ を作ると$(x^2 + 1)^2$となります。

したがって、$x^4 - 6x^2 + 1$ に $8x^2$ を足して、$8x^2$を引けば、式を変えずに平方の差の形に持ち込むことができます。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2 = (x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2$

$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用すると、

$(x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = (x^2 + 1 + 2\sqrt{2}x)(x^2 + 1 - 2\sqrt{2}x) = (x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$