多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $-4$、 $x+2$ で割ると余りが $8$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2-4$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $-4$、 $x+2$ で割ると余りが $8$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2-4$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $x^2 - 4$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とすると、

$$P(x) = (x^2 - 4)Q(x) + ax + b$$

と表せる。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ であるから、

$P(2) = -4$

$P(-2) = 8$

が成り立つ。

$P(2)$ を上の式に代入すると、

$P(2) = (2^2 - 4)Q(2) + 2a + b = 0 \cdot Q(2) + 2a + b = 2a + b$

したがって、$2a + b = -4$ となる。

$P(-2)$ を上の式に代入すると、

$P(-2) = ((-2)^2 - 4)Q(-2) + (-2)a + b = 0 \cdot Q(-2) -2a + b = -2a + b$

したがって、$-2a + b = 8$ となる。

これより、

$2a + b = -4$

$-2a + b = 8$

という連立方程式が得られる。

2つの式を足すと、

$2b = 4$

$b = 2$

$2a + b = -4$ に $b=2$ を代入すると、

$2a + 2 = -4$

$2a = -6$

$a = -3$

したがって、余りは $-3x + 2$ である。

3. 最終的な答え

$-3x+2$