異なる3つの実数 $a, b, c$ が順に等差数列をなし、$b, c, a$ の順に等比数列をなす。また、3つの数の和が18であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

異なる3つの実数 $a, b, c$ が順に等差数列をなし、$b, c, a$ の順に等比数列をなす。また、3つの数の和が18であるとき、$a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a, b, c$ が等差数列であることから、公差を $d$ とすると、

$b = a + d$

$c = a + 2d$

と表せる。

次に、$b, c, a$ が等比数列であることから、

$\frac{c}{b} = \frac{a}{c}$

つまり、

$c^2 = ab$

が成り立つ。

3つの数の和が18であることから、

$a + b + c = 18$

これらの条件から、$a, b, c$ を求める。

まず、$a+b+c = 18$ に $b = a + d$ と $c = a + 2d$ を代入すると、

$a + (a+d) + (a+2d) = 18$

$3a + 3d = 18$

$a + d = 6$

$d = 6 - a$

次に、$c^2 = ab$ に $b = a + d$ と $c = a + 2d$ を代入すると、

$(a + 2d)^2 = a(a+d)$

$a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + ad$

$3ad + 4d^2 = 0$

$d(3a + 4d) = 0$

$d = 0$ の場合、$a = b = c$ となり、問題文の「異なる3つの実数」という条件に反するので、$d \neq 0$。

したがって、

$3a + 4d = 0$

$d = -\frac{3}{4}a$

$d = 6-a$ なので、

$6 - a = -\frac{3}{4}a$

$24 - 4a = -3a$

$a = 24$

$d = 6 - a = 6 - 24 = -18$

$b = a + d = 24 - 18 = 6$

$c = a + 2d = 24 - 36 = -12$

したがって、$a = 24, b = 6, c = -12$

3. 最終的な答え

$a = 24, b = 6, c = -12$