与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $x^4 + 5x^2 + 9$ (3) $x^4 - 6x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $x^4 + 5x^2 + 9$

(3) $x^4 - 6x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 5x^2 + 9$

まず、$x^4 + 6x^2 + 9$ を考えます。これは $(x^2 + 3)^2$ となります。

元の式との差は $x^2$ なので、

$x^4 + 5x^2 + 9 = (x^2 + 3)^2 - x^2$

と変形できます。

これは、和と差の積の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ で因数分解できます。

$x^4 + 5x^2 + 9 = (x^2 + 3 + x)(x^2 + 3 - x)$

整理すると、

$x^4 + 5x^2 + 9 = (x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3)$

(3) $x^4 - 6x^2 + 1$

$x^4 - 2x^2 + 1$ を考えると、これは $(x^2 - 1)^2$ となります。

しかし、元の式は $x^4 - 6x^2 + 1$ なので、

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - 4x^2$

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 - (2x)^2$

これは、和と差の積の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ で因数分解できます。

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2 - 1 + 2x)(x^2 - 1 - 2x)$

整理すると、

$x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 - 2x - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3)$

(3) $(x^2 + 2x - 1)(x^2 - 2x - 1)$