与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を解け、あるいは因数分解せよという問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を解け、あるいは因数分解せよという問題です。

2. 解き方の手順

この式は因数分解可能な形にすることができます。まず、$x^4 + 2x^2 + 1$ の形を作り、そこから余分な項を引くことを考えます。

$x^4 - 6x^2 + 1$ に $8x^2$ を加えて引き、平方完成できる形を目指します。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2$

$(x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2$

これは、$a^2 - b^2$ の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を用いて因数分解できます。

$a = x^2 + 1$、 $b = 2\sqrt{2}x$ なので、

$(x^2 + 1 + 2\sqrt{2}x)(x^2 + 1 - 2\sqrt{2}x)$

整理して

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$