球Sの球面上に4点A, B, C, Dがある。3点A, B, Cを通る円の中心をPとすると、線分DPはこの円に垂直である。AB=6, BC=$2\sqrt{5}$, CA=$4\sqrt{2}$, AD=$2\sqrt{15}$のとき、以下の問いに答えよ。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 線分APの長さを求めよ。 (3) 四面体ABCDの体積を求めよ。 (4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

1. 問題の内容

球Sの球面上に4点A, B, C, Dがある。3点A, B, Cを通る円の中心をPとすると、線分DPはこの円に垂直である。AB=6, BC=$2\sqrt{5}$, CA=$4\sqrt{2}$, AD=$2\sqrt{15}$のとき、以下の問いに答えよ。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 線分APの長さを求めよ。

(3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

(4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積

ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{6 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

$面積 = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(-3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{2})}$

ここで、$A = 3 + 2\sqrt{2}$, $B = \sqrt{5}$とおくと、

$面積 = \sqrt{(A + B)( -A + B)(A - B)(A + B)} = \sqrt{(A^2 - B^2)(-A^2 + B^2)} = \sqrt{((3 + 2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2)((3 - 2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2)}$

$= \sqrt{((9 + 12\sqrt{2} + 8) - 5)((9 - 12\sqrt{2} + 8) - 5)} = \sqrt{(12 + 12\sqrt{2})(12 - 12\sqrt{2})} = \sqrt{144 - 144 \cdot 2} = \sqrt{-144}$.

計算ミスなので、cosを求める。

余弦定理より

$\cos{B} = \frac{6^2 + (2\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{36 + 20 - 32}{24\sqrt{5}} = \frac{24}{24\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin^2{B} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\sin{B} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$面積 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 12$

(2) 線分APの長さ

正弦定理より $\frac{4\sqrt{2}}{\sin{B}} = 2R$。よって、$2R = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 2\sqrt{10}$. $R = \sqrt{10}$

(3) 四面体ABCDの体積

DPは円に垂直なので、DPを高さとして、四面体ABCDの体積は$\frac{1}{3} \times (三角形ABCの面積) \times DP$で求められる。

$AD^2 = AP^2 + DP^2$より、$(2\sqrt{15})^2 = (\sqrt{10})^2 + DP^2$

$60 = 10 + DP^2$

$DP = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

よって、体積は$\frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

(4) 球Sの半径と球Sの表面積

球Sの中心をOとする。OA = OB = OC = OD = R。

OPは三角形ABCの外心。DPは三角形ABCを含む円に垂直。

OA = Rより、OP + PD = R。

AP = $\sqrt{10}$。DP = $5\sqrt{2}$。OD = R。OP = R - $5\sqrt{2}$。

$AO^2 = AP^2 + OP^2$より、$R^2 = 10 + (R - 5\sqrt{2})^2$

$R^2 = 10 + R^2 - 10\sqrt{2}R + 50$

$10\sqrt{2}R = 60$

$R = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

表面積 = $4\pi (3\sqrt{2})^2 = 4\pi \cdot 18 = 72\pi$

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $\sqrt{10}$

(3) $20\sqrt{2}$

(4) 半径: $3\sqrt{2}$, 表面積: $72\pi$