与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-84$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-84$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する際に工夫をします。定数項の和が等しくなるように組み合わせると計算が楽になります。

$(x-1)(x+3)$ と $(x-2)(x+4)$ を組み合わせると、

$(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$

となります。

ここで、$x^2+2x = A$ とおくと、

$(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-84 = (A-3)(A-8)-84$

$= A^2 - 11A + 24 - 84$

$= A^2 - 11A - 60$

$= (A-15)(A+4)$

次に、$A$ を $x^2+2x$ に戻すと、

$(x^2+2x-15)(x^2+2x+4)$

ここで、$x^2+2x-15$ はさらに因数分解できます。

$x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)$

一方、$x^2+2x+4$ は実数の範囲では因数分解できません。

したがって、与えられた式の因数分解の結果は、

$(x+5)(x-3)(x^2+2x+4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+5)(x-3)(x^2+2x+4)$