$\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

2. 解き方の手順

三角比の基本的な関係式である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

まず、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ をこの式に代入します。

$\sin^2 \theta + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{8}{9}$

したがって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。

$\theta$ は鋭角なので、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であり、この範囲では $\sin \theta > 0$ です。

したがって、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$