単純支持梁の中央に集中荷重 $W$ が加わっている。許容曲げ応力 $\sigma_a = 40 \text{ MPa}$、断面は幅 $b = 50 \text{ mm}$、高さ $h = 80 \text{ mm}$ の長方形である。この梁が受けられる最大集中荷重 $W$ を求める。梁の長さは $L = 2 \text{ m}$ である。

1. 問題の内容

単純支持梁の中央に集中荷重 $W$ が加わっている。許容曲げ応力 $\sigma_a = 40 \text{ MPa}$、断面は幅 $b = 50 \text{ mm}$、高さ $h = 80 \text{ mm}$ の長方形である。この梁が受けられる最大集中荷重 $W$ を求める。梁の長さは $L = 2 \text{ m}$ である。

2. 解き方の手順

(1) 最大曲げモーメント $M_{max}$ を求める。

単純支持梁の中央に集中荷重が作用する場合、最大曲げモーメントは、

$M_{max} = \frac{WL}{4}$

ここで、$L = 2 \text{ m} = 2000 \text{ mm}$である。

したがって、

$M_{max} = \frac{W \times 2000}{4} = 500W \text{ [Nmm]}$

(2) 断面係数 $Z$ を求める。

長方形断面の断面係数は、

$Z = \frac{bh^2}{6}$

ここで、$b = 50 \text{ mm}$、$h = 80 \text{ mm}$なので、

$Z = \frac{50 \times 80^2}{6} = \frac{50 \times 6400}{6} = \frac{320000}{6} = \frac{160000}{3} \text{ mm}^3$

(3) 曲げ応力 $\sigma$ を求める。

曲げ応力は、

$\sigma = \frac{M}{Z}$

ここで、$M = M_{max}$とすると、

$\sigma = \frac{500W}{\frac{160000}{3}} = \frac{500W \times 3}{160000} = \frac{1500W}{160000} = \frac{3W}{320} \text{ MPa}$

(4) 許容曲げ応力から最大荷重 $W$ を求める。

許容曲げ応力は$\sigma_a = 40 \text{ MPa}$なので、

$\sigma \le \sigma_a$

$\frac{3W}{320} \le 40$

$3W \le 40 \times 320$

$3W \le 12800$

$W \le \frac{12800}{3} \approx 4266.67 \text{ N}$

3. 最終的な答え

最大集中荷重 $W$ は $\frac{12800}{3} \text{ N} \approx 4266.67 \text{ N}$ である。