単純支持ばりの中心に集中荷重 $W$ が加わるとき、許容曲げ応力 $40 \text{ MPa}$ を超えない範囲で、最大いくらの集中荷重を受けられるかを求める問題です。断面は幅 $50 \text{ mm}$、高さ $80 \text{ mm}$ の長方形です。スパン長は $4 \text{ m}$ です。

1. 問題の内容

単純支持ばりの中心に集中荷重 $W$ が加わるとき、許容曲げ応力 $40 \text{ MPa}$ を超えない範囲で、最大いくらの集中荷重を受けられるかを求める問題です。断面は幅 $50 \text{ mm}$、高さ $80 \text{ mm}$ の長方形です。スパン長は $4 \text{ m}$ です。

2. 解き方の手順

まず、断面係数 $Z$ を計算します。

$Z = \frac{bh^2}{6}$

ここで、$b$ は幅、$h$ は高さを表します。問題文より、$b = 50 \text{ mm}$、$h = 80 \text{ mm}$ なので、

$Z = \frac{50 \times 80^2}{6} = \frac{50 \times 6400}{6} = \frac{320000}{6} \approx 53333.33 \text{ mm}^3$

次に、最大曲げモーメント $M$ を計算します。単純支持ばりの中央に集中荷重が加わる場合の最大曲げモーメントは、

$M = \frac{WL}{4}$

ここで、$W$ は集中荷重、$L$ はスパン長を表します。問題文より、$L = 2 \text{ m} = 2000 \text{ mm}$ なので、

$M = \frac{W \times 2000}{4} = 500W \text{ Nmm}$

次に、曲げ応力 $\sigma$ を計算します。

$\sigma = \frac{M}{Z}$

ここで、$M$ は曲げモーメント、$Z$ は断面係数を表します。

問題文より、許容曲げ応力 $\sigma = 40 \text{ MPa}$ であるため、

$40 = \frac{500W}{53333.33}$

$500W = 40 \times 53333.33$

$500W = 2133333.2$

$W = \frac{2133333.2}{500} = 4266.67 \text{ N}$

単位を kN に変換すると、

$W = 4.26667 \text{ kN} \approx 4.27 \text{ kN}$

3. 最終的な答え

集中荷重 $W$ は約 $4.27 \text{ kN}$ まで受けられます。