公比が負の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第3項までの和が9、第3項から第5項までの和が36である。初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

公比が負の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第3項までの和が9、第3項から第5項までの和が36である。初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

初項を $a$、公比を $r$ とする。

初項から第3項までの和は、

$S_3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2) = 9$ ...(1)

第3項から第5項までの和は、

$ar^2 + ar^3 + ar^4 = ar^2(1+r+r^2) = 36$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^2(1+r+r^2)}{a(1+r+r^2)} = \frac{36}{9}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

公比が負であるから、$r=-2$。

(1)式に $r=-2$ を代入すると、

$a(1 + (-2) + (-2)^2) = 9$

$a(1 - 2 + 4) = 9$

$3a = 9$

$a = 3$

よって、初項 $a=3$、公比 $r=-2$ である。

初項から第n項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{3(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{3(1-(-2)^n)}{3} = 1 - (-2)^n$

3. 最終的な答え

$S_n = 1 - (-2)^n$