公比が正である等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第3項までの和が21、第3項から第5項までの和が $\frac{21}{4}$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

公比が正である等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第3項までの和が21、第3項から第5項までの和が $\frac{21}{4}$ のとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、

初項から第3項までの和は、

$a + ar + ar^2 = 21$

第3項から第5項までの和は、

$ar^2 + ar^3 + ar^4 = \frac{21}{4}$

これらの式を整理すると、

$a(1 + r + r^2) = 21$ ...(1)

$ar^2(1 + r + r^2) = \frac{21}{4}$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^2(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{\frac{21}{4}}{21}$

$r^2 = \frac{1}{4}$

$r = \pm \frac{1}{2}$

問題文より、公比は正であるから、

$r = \frac{1}{2}$

これを(1)式に代入すると、

$a(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 21$

$a(\frac{4+2+1}{4}) = 21$

$a(\frac{7}{4}) = 21$

$a = 21 \times \frac{4}{7} = 3 \times 4 = 12$

したがって、一般項は、

$a_n = ar^{n-1} = 12 \times (\frac{1}{2})^{n-1} = 12 \times \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{12}{2^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{12}{2^{n-1}}$