実数 $x$ は $-3 < x < 5$ を満たしている。このとき、$\sqrt{x^2+6x+9} + 2\sqrt{x^2-10x+25}$ を $x$ の多項式で表せ。

1. 問題の内容

実数 $x$ は $-3 < x < 5$ を満たしている。このとき、$\sqrt{x^2+6x+9} + 2\sqrt{x^2-10x+25}$ を $x$ の多項式で表せ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形します。

まず、根号の中身を因数分解します。

$\sqrt{x^2+6x+9} = \sqrt{(x+3)^2} = |x+3|$

$\sqrt{x^2-10x+25} = \sqrt{(x-5)^2} = |x-5|$

したがって、与えられた式は

$|x+3| + 2|x-5|$

となります。

ここで、$-3 < x < 5$ であることから、

$x+3 > 0$ なので、$|x+3| = x+3$

$x-5 < 0$ なので、$|x-5| = -(x-5) = 5-x$

となります。

したがって、与えられた式は

$(x+3) + 2(5-x) = x+3+10-2x = -x+13$

となります。

3. 最終的な答え

$-x+13$