(1) 2次方程式 $x^2 - 6x + 2 = 0$ を解く。 (2) 2次方程式 $x^2 + 6x + m + 2 = 0$ が実数解をもたないような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - 6x + 2 = 0$ を解く。

(2) 2次方程式 $x^2 + 6x + m + 2 = 0$ が実数解をもたないような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 6x + 2 = 0$ を解く。解の公式を用いる。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

この問題では、$a=1$, $b=-6$, $c=2$ であるから、

$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2}$$

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2}$$

$$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2}$$

$$x = 3 \pm \sqrt{7}$$

(2) 2次方程式 $x^2 + 6x + m + 2 = 0$ が実数解をもたないための $m$ の条件を求める。

2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ であることである。

判別式は、$D = b^2 - 4ac$ である。

この問題では、$a=1$, $b=6$, $c=m+2$ であるから、

$D = 6^2 - 4(1)(m+2)$

$D = 36 - 4m - 8$

$D = 28 - 4m$

$D < 0$ であるから、

$28 - 4m < 0$

$-4m < -28$

$4m > 28$

$m > 7$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3 \pm \sqrt{7}$

(2) $m > 7$