(1) 2次不等式 $-16x^2 + 24x - 9 \ge 0$ を解く問題です。ただし、すでに解答の一部 $x = \frac{1}{2}$ が与えられています。 (2) 連立不等式 $x^2 + 2x - 3 < 0$ $x^2 + 6x + 5 > 0$ を解き、$a < x < b$ の形で答えを求め、$a$と$b$の値を答える問題です。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $-16x^2 + 24x - 9 \ge 0$ を解く問題です。ただし、すでに解答の一部 $x = \frac{1}{2}$ が与えられています。

(2) 連立不等式

$x^2 + 2x - 3 < 0$

$x^2 + 6x + 5 > 0$

を解き、$a < x < b$ の形で答えを求め、$a$と$b$の値を答える問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$-16x^2 + 24x - 9 \ge 0$ の両辺に $-1$ を掛けて、

$16x^2 - 24x + 9 \le 0$

$(4x - 3)^2 \le 0$

実数の2乗は0以上なので、$(4x - 3)^2 = 0$ となる必要がある。

$4x - 3 = 0$

$4x = 3$

$x = \frac{3}{4}$

(2)

$x^2 + 2x - 3 < 0$ を解く。

$(x + 3)(x - 1) < 0$

したがって、$-3 < x < 1$

$x^2 + 6x + 5 > 0$ を解く。

$(x + 5)(x + 1) > 0$

したがって、$x < -5$ または $x > -1$

連立不等式を解くので、$-3 < x < 1$ と $x < -5$ または $x > -1$ を同時に満たす $x$ の範囲を求める。

数直線を考えると、$-3 < x < 1$ と $x > -1$ の共通範囲は $-1 < x < 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3}{4}$

(2) $-1 < x < 1$

3: -1

4: -1

5: 1