## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

* **【3】** 数列 1・2 + 3・4 + 5・6 + ... + 19・20 を、記号 $\Sigma$ を用いて表す。

* **【4】** 数列 1² + 2² + 3² + ... + 15² の和を求める。

* **【5】(1)** $\sum_{k=1}^{n} (-5)$ の和を求める。

* **【5】(2)** $\sum_{k=1}^{20} k$ の和を求める。

* **【6】** $\sum_{k=1}^{10} (-3) \cdot 2^{k-1}$ の和を求める。

* **【7】** $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k+1)$ の和を求める。

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2. 解き方の手順

**【3】**

数列の一般項は $(2k-1)(2k)$ と表せる。最後の項は 19・20 なので、$2k-1 = 19$ となる $k$ は $k=10$。したがって、$\Sigma$ を用いて表すと以下のようになる。

$\sum_{k=1}^{10} (2k-1)(2k)$

**【4】**

数列の和は、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ で求められる。

$n = 15$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{15} k^2 = \frac{15(15+1)(2 \cdot 15+1)}{6} = \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} = 5 \cdot 8 \cdot 31 = 1240$

**【5】(1)**

$\sum_{k=1}^{n} (-5)$ は、-5 を $n$ 回足し合わせることを意味する。したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (-5) = -5n$

**【5】(2)**

$\sum_{k=1}^{20} k$ は、1 から 20 までの自然数の和である。公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いる。

$n=20$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210$

**【6】**

$\sum_{k=1}^{10} (-3) \cdot 2^{k-1}$ は、初項 -3、公比 2 の等比数列の初項から第10項までの和である。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いる。ここで、$a = -3$, $r = 2$, $n = 10$。

$S_{10} = \frac{-3(1-2^{10})}{1-2} = \frac{-3(1-1024)}{-1} = -3(1023) = -3069$

**【7】**

$\sum_{k=1}^{n} 2k(3k+1) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 + 2k) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を代入すると、

$6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) + n(n+1) = n(n+1)(2n+1+1) = n(n+1)(2n+2) = 2n(n+1)(n+1) = 2n(n+1)^2$

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3. 最終的な答え

* **【3】** $\sum_{k=1}^{10} (2k-1)(2k)$

* **【4】** 1240

* **【5】(1)** -5n

* **【5】(2)** 210

* **【6】** -3069

* **【7】** $2n(n+1)^2$