$a, b, c$ は相異なる実数である。数列 $\{x_n\}$ は等差数列で、最初の3項が順に $a, b, c$ であるとする。数列 $\{y_n\}$ は等比数列で、最初の3項が順に $c, a, b$ であるとする。 (1) $b$ と $c$ を $a$ を用いて表し、等差数列 $\{x_n\}$ の公差を $a$ を用いて表す。 (2) 等比数列 $\{y_n\}$ の公比を求め、$\{y_n\}$ の初項から第8項までの和を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$a, b, c$ は相異なる実数である。数列 $\{x_n\}$ は等差数列で、最初の3項が順に $a, b, c$ であるとする。数列 $\{y_n\}$ は等比数列で、最初の3項が順に $c, a, b$ であるとする。

(1) $b$ と $c$ を $a$ を用いて表し、等差数列 $\{x_n\}$ の公差を $a$ を用いて表す。

(2) 等比数列 $\{y_n\}$ の公比を求め、$\{y_n\}$ の初項から第8項までの和を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列 $\{x_n\}$ の最初の3項が $a, b, c$ なので、等差数列の性質から $2b = a + c$ が成り立つ。

また、$x_1 = a$, $x_2 = b$, $x_3 = c$ であるから、公差 $d$ は $d = b - a = c - b$ と表せる。

$2b = a + c$ より、$c = 2b - a$ である。

数列 $\{y_n\}$ の最初の3項が $c, a, b$ なので、公比を $r$ とすると、 $a = cr$, $b = ar = cr^2$ となる。

$2b = a+c$ に $b=ar$ を代入すると $2ar = a+c$ となる。

$a = cr$ を $c$ について解くと $c = \frac{a}{r}$ となる。

$2ar = a + \frac{a}{r}$ を解く。$a \neq 0$ より、$2r = 1 + \frac{1}{r}$ となる。

両辺に $r$ をかけると、$2r^2 = r + 1$ となり、$2r^2 - r - 1 = 0$ を得る。

これを因数分解すると $(2r+1)(r-1) = 0$ となる。

$r=1$ のとき $c=a$ となり、$a, b, c$ が相異なるという条件に反するので、$r = -\frac{1}{2}$ である。

$b = ar = -\frac{1}{2}a$ である。

$c = \frac{a}{r} = \frac{a}{-\frac{1}{2}} = -2a$ である。

等差数列 $\{x_n\}$ の公差は $b - a = -\frac{1}{2}a - a = -\frac{3}{2}a$ である。

(2)

等比数列 $\{y_n\}$ の公比は $r = -\frac{1}{2}$ である。

$\{y_n\}$ の初項から第8項までの和は

$$S_8 = \frac{c(1 - r^8)}{1 - r} = \frac{-2a (1 - (-\frac{1}{2})^8)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-2a (1 - \frac{1}{256})}{\frac{3}{2}} = -2a \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{510}{768}a = -\frac{85}{128}a \cdot 2 = - \frac{85}{64} a$$

3. 最終的な答え

(1) $b = -\frac{1}{2}a$, $c = -2a$, 公差は $-\frac{3}{2}a$

(2) 公比は $-\frac{1}{2}$, 初項から第8項までの和は $-\frac{85}{64}a$