画像に示された数列の問題を解きます。具体的には、以下の3つの問題があります。 (7) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k+1)$ を計算する問題。 (8) 数列の第k項が$(2k-1)(3k-1)$で与えられるときの、初項から第n項までの和$S_n$を計算する問題。 (9) 数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$としたとき、数列$\{b_n\}$が与えられた条件を満たすときの$a_n$を求める問題。

1. 問題の内容

画像に示された数列の問題を解きます。具体的には、以下の3つの問題があります。

(7) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k+1)$ を計算する問題。

(8) 数列の第k項が$(2k-1)(3k-1)$で与えられるときの、初項から第n項までの和$S_n$を計算する問題。

(9) 数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$としたとき、数列$\{b_n\}$が与えられた条件を満たすときの$a_n$を求める問題。

2. 解き方の手順

(7)

和の記号を展開し、$\sum k$ と $\sum k^2$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k(3k+1) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 + 2k) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ および $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を代入します。

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = 6\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 2\cdot \frac{1}{2}n(n+1) = n(n+1)(2n+1) + n(n+1) = n(n+1)(2n+1+1) = n(n+1)(2n+2) = 2n(n+1)^2$

(8)

和の記号を展開し、$\sum k^2$, $\sum k$, $\sum 1$の公式を利用します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(3k-1) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 5k + 1) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ および $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入します。

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 6\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 5\cdot \frac{1}{2}n(n+1) + n = n(n+1)(2n+1) - \frac{5}{2}n(n+1) + n = \frac{1}{2}n[2(n+1)(2n+1) - 5(n+1) + 2] = \frac{1}{2}n[2(2n^2 + 3n + 1) - 5n - 5 + 2] = \frac{1}{2}n[4n^2 + 6n + 2 - 5n - 3] = \frac{1}{2}n(4n^2 + n - 1)$

(9)

階差数列$b_n = a_{n+1} - a_n$が与えられているとき、$a_n$を求める。

$b_n = 5 + (n-1)\cdot 2 = 2n + 3$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+3) = a_1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + 3\sum_{k=1}^{n-1} 1$

数列$a_n$の最初の項は数列$b_n$の最初の項より2小さいので、$a_1 = 5-2-3=1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2}(n-1)n$ および $\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$ を代入します。

$a_n = 1 + 2\cdot \frac{1}{2}(n-1)n + 3(n-1) = 1 + n(n-1) + 3n - 3 = 1 + n^2 - n + 3n - 3 = n^2 + 2n - 2$

3. 最終的な答え

(7) $2n(n+1)^2$

(8) $\frac{1}{2}n(4n^2+n-1)$

(9) $a_n = n^2 + 2n - 2$