複素数平面上の3点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ があり、$\gamma = (1 + \sqrt{3}) \beta - \sqrt{3} i \alpha$ が成り立つとき、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を極形式で表してください。 (2) $AB:AC$ を最も簡単な整数比で表してください。 (3) $\angle BAC$ の大きさを求めてください。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ があり、$\gamma = (1 + \sqrt{3}) \beta - \sqrt{3} i \alpha$ が成り立つとき、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を極形式で表してください。

(2) $AB:AC$ を最も簡単な整数比で表してください。

(3) $\angle BAC$ の大きさを求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を極形式で表す。

$\gamma = (1 + \sqrt{3})\beta - \sqrt{3} i \alpha$ より、$\gamma - \alpha = (1 + \sqrt{3})\beta - \sqrt{3} i \alpha - \alpha = (1 + \sqrt{3})\beta - (1 + \sqrt{3} i) \alpha$ である。

したがって、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{(1 + \sqrt{3})\beta - (1 + \sqrt{3}i) \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})(\beta-\alpha) + (1+\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha}$

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})(\beta-\alpha) + \sqrt{3}(1-i)\alpha}{\beta-\alpha} = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3}\frac{(1-i)\alpha}{\beta-\alpha}$

$\gamma - \alpha = (1 + \sqrt{3})\beta - (1 + \sqrt{3}i)\alpha$.

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})\beta - (1 + \sqrt{3}i) \alpha}{\beta - \alpha} = (1+\sqrt{3}) - \frac{(1 + \sqrt{3}i)\alpha}{\beta - \alpha}$.

$\gamma = (1 + \sqrt{3})\beta - \sqrt{3}i\alpha$

$\gamma - \alpha = (1+\sqrt{3})\beta - \sqrt{3}i\alpha - \alpha$

$\gamma - \alpha = (1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha$

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3})\alpha + (1+\sqrt{3})\alpha -(1+\sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha}$

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})(\beta - \alpha) + (1+\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha} = (1+\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3}(1-i)\alpha}{\beta-\alpha}$

$\gamma-\alpha = (1+\sqrt{3})\beta - \sqrt{3}i\alpha - \alpha = (1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha$.

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3})\alpha + (1+\sqrt{3})\alpha - (1+\sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha}$.

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = (1+\sqrt{3}) + \frac{(1+\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha} = (1+\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3}(1-i)\alpha}{\beta-\alpha}$.

$\gamma - \alpha = (1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha$. よって $\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{(1+\sqrt{3})\beta - (1+\sqrt{3}i)\alpha}{\beta-\alpha}$。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 1+\sqrt{3}i$ である。

$1 + \sqrt{3}i = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおくと、$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

$\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$. よって $\theta = \frac{\pi}{3}$.

したがって、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$.

(2) $AB:AC$ を求める。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ より、$\left| \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right| = \frac{|\gamma - \alpha|}{|\beta - \alpha|} = \frac{AC}{AB} = 2$.

よって、$\frac{AC}{AB} = 2$ となり、$AC = 2AB$ となる。

したがって、$AB : AC = 1 : 2$.

(3) $\angle BAC$ の大きさを求める。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ より、$\arg \left( \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right) = \arg (\gamma - \alpha) - \arg (\beta - \alpha) = \frac{\pi}{3}$.

これは $\angle BAC$ に等しいので、$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$.

$\angle BAC = 60^\circ$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

(2) $AB:AC = 1:2$

(3) $\angle BAC = \frac{\pi}{3}$